Question

（2009?重庆模拟）[理]如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=12AB=1，M为P

（2009?重庆模拟）[理]如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=12AB=1，M为PC的中点，N点在AB上且AN=13NB．（1）证明：MN∥平面PAD；（2）求直线MN与平面PCB所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：过M作ME∥CD交PD于E，连接AE．
∵AN=

1

3

NB，
∴AN=

1

4

AB=

1

2

DC=EM．
又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，且EM=AN
∴AEMN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．

（2）过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，
连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH．
易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，
∴BC⊥平面QNF，
∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，
∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．
通过计算可得MN=AE=

2

2

，QN=

3

4

，NF=

3

4

2

，
∴NH=

QN?NF

QF

=

QN?NF

QN2+NF2

=

6

4

，
∴sin∠NMH=

NH

MN

=

3

2

，∴∠NM