Question

（x2+x-2）7的展开式中x3的系数是______（用数字作答

（x2+x-2）7的展开式中x3的系数是______（用数字作答）

Answer 1

∵（x²+x-2）⁷ =（x+2）⁷?（x-1）⁷=[

C

0 7

?x⁷+

C

1 7

?x⁶?2+

C

2 7

?x⁵2²+…+

C

7 7

?2⁷]?[

C

0 7

?x⁷-

C

1 7

x⁶+

C

2 7

?x⁵-

C

3 7

?x⁴+…-

C

7 7

]，
∴展开式中x³的系数是：

C

7 7

?2⁷?

C

4 7

+

C

6 7

?2⁶?（-

C

5 7

）+

C

5 7

?2⁵?

C

6 7

+

C

4 7

?2⁴?（-

C

7 7

）
=4480-9408+4704-560=-784，
故答案为：-784．

Answer 2

1、对x^2+x-2因式分解：x^2+x-2=(x+2)(x-1)
2、(x^2+x-2)^7=(x+2)^7(x-1)^7
3、分别求出(x+2)^7和(x-1)^7展开式中x^3、x^2、x及常数项的值
3.1、(x+2)^7展开后，上述各项分别为：
x^3项：C(7,4)x^(7-4)×2^4=560x^3
x^2项：C(7,5)x^(7-5)×2^5=672x^2
x项：C(7,6)x^(7-6)×2^6=448x
常数项：C(7,7)2^7=128
3.2、(x-1)^7展开后，上述各项分别为：
x^3项：C(7,4)x^(7-4)×(-1)^4=35x^3
x^2项：C(7,5)x^(7-5)×(-1)^5=-21x^2
x项：C(7,6)x^(7-6)×(-1)^6=7x
常数项：C(7,7)(-1)^7=-1
4、分别用3.1的x^3项去乘以3.2的常数项，3.1的x^2项去乘以3.2的x项，以此类推，然后把积相加：
560x^3×(-1)+672x^2×7x+448x×(-21x^2)+128×35x^3
=(-560+4704-9408+4480)x^3
=-784x^3
答：(x^2+x-2)^7的展开式中x^3的系数是：-784