Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x都成立，则称该f（x）为β函数，

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x都成立，则称该f（x）为β函数，现给出如下函数：（1）f（x）=2x-1；（2）f（x）=x2；（3）f（x）=sinx；（4）f(x)＝xx2+x+1；（5）f（x）=2x-1；其中是β函数的序号是______．

Answer 1

据定义逐个加以判断：
对于（1），|f（x）|=|2x-1|≤M|x|，即|

2x?1

x

|=|2?

1

x

|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
对于（2），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
对于（3），|f（x）|=|sinx|≤M|x|，即|

sinx

x

|≤M，当M≥1时，对一切实数x均成立，f（x）=sinx是β函数．
对于（4），要使|f（x）|≤M|x|成立，即 |

x

x2+x+1

| ≤M|x|
当x=0时，M可取任意正数；当x≠0时，只须M≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因为x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以M≥

4

3

，
因此，当M≥

4

3

时，f（x）=

x

x2+x+1

是β函数；
对于（5），|f（x）|=|2^x-1|≤M|x|，即|

2 x?1

x

|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
 故答案为（3）（4）．