Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x2+1，③f（x）=sinx+cosx，④f（x）=xx2?x+3，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．其中是“倍约束函数”的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴对任意x∈R，存在正数K，都有 M≥

|f(x)|

|x|

成立
∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；
对于②，

|f(x)|

|x|

=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；
对于④f(x)＝

x

x2?x+3

，

|f(x)|

|x|

=

1

|x2?x+3|

≤

4

11

恒成立，故④正确；
对于⑤，当x₁=x，x₂=0时，由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；
故是“倍约束函数”的函数有3个
故选C．