Question

已知函数f(x)＝3x?13|x|．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[12，1]恒成立

已知函数f(x)＝3x?13|x|．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[12，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解（1）当x＜0时，f（x）=3^x-3^x=0，
∴f（x）=2无解；
当x＞0时，f(x)＝3x?

1

3x

，3x?

1

3x

＝2，
∴（3^x）²-2?3^x-1=0，
∴3x＝1±

2

．
∵3^x＞0，
∴3x＝1?

2

（舍）．
∴3x＝1+

2

，
∴x＝log3(

2

+1)．
（2）∵t∈[

1

2

，1]，
∴f(t)＝3t?

1

3t

＞0，
∴3t(32t?

1

32t

)+m(3t?

1

3t

)＞0．
∴3t(3t+

1

3t

)+m＞0，
即t∈[

1

2

，1]时m＞-3^2t-1恒成立
又-3^2t-1∈[-10，-4]，
∴m＞-4．
∴实数m的取值范围为（-4，+∞）．