Question

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小；（2）小球对刚到C时对轨道的作用力；（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出．

Answer 1

（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有：
mg(5Rsin370+1.8R)?μmgcos370?5R＝

1

2

m

v

2 c

可得：vc＝

5.6gR

（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律，有：
N?mg＝m

v 2 c

r

其中r满足：
r+r?sin53°=1.8R
联立上式可得：
N=6.6mg
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下． 
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球在最高点P应满足：
m

vP2

R′

≥mg
小球从C直到P点过程，由动能定理，有：
?μmgR?mg?2R′＝

1

2

mvP2?

1

2

mvc2
可得：
 R′≤

23

25

R＝0.92R
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有：
?μmgR?mg?R′＝0?

1

2

mvc2
解得：R′≥2.3R
但R′最大是圆弧轨道与斜面相切，结合几何关系，对应的轨道半径为：
若R′=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道，并沿CB运动到达B点，在B点的速度为v_B，则由能量守恒定律有：

1

2

m

v

2 c

＝

1

2

mvB2+mg?1.8R+2μmgR
可得：
v_B=0
故知，小球不能滑回倾斜轨道AB，小球将在两圆轨道之间做往返运动，小球将停在CD轨道上的某处．设小球在CD轨道上运动的总路程为S，则由能量守恒定律，有：

1

2

m

v

2 c

＝μmgS
由⑤⑩两式，可得：
S=5.6R
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处．
答：（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小为

5.6gR

；
（2）小球对刚到C时对轨道的作用力为6.6mg；
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；若R′=2.5R，小球最后所停位置距D点0.6R处．