Question

已知曲线y=f（x）过点（0，-12），且其上任一点（x，y）处的切线斜率为xln（1+x2），则f（x）=x2+12ln(1+

已知曲线y=f（x）过点（0，-12），且其上任一点（x，y）处的切线斜率为xln（1+x2），则f（x）=x2+12ln(1+x2)?12(1+x2)x2+12ln(1+x2)?12(1+x2)．

Answer 1

令切线斜率为f′（x），
∴
f′（x）=xln（1+x²）且有f′（0）=0
∴
f（x）=f（x）-f（0）
构造
f(x)＝

∫

x 0

f′(t)dt=

∫

x 0

tln(1+t2)dt=

1

2

∫

x 0

ln(1+t2)dt2
令u=t²
∴原式=

1

2

∫

x2 0

ln(1+u)du
利用分部积分知：

1

2

∫

x2 0

ln(1+u)du=

1

2

uln(1+u)

|

x2 0

?

1

2

∫

x2 0

u

1+u

du
=

1

2

x2ln(1+x2)?

1

2

∫

x2 0

(1?

1

1+u

)du
=

1

2

x2ln(1+x2)?

1

2

x2+

1

2

ln|1+u|

|

x2 0

+C
=

x2+1

2

ln(x2+1)?

1

2

x2+C
∴f(x)＝

x2+1

2

ln(x2+1)?

1

2

x2+C
∵曲线y=f（x）过点(0，?

1

2

)，
∴f(0)＝C＝?

1

2

∴f(x)＝

x2+1

2

ln(x2+1)?

1

2

(x2+1)
故答案为：

x2+1

2

ln(1+x2)?

1

2

(1+x2)