Question

求解一道高中数学数列题。（只求问第2小题就）

Answer 1

{an}为等比数列，则a1, a3, a5有符合关系式，a3 * a3 = a1 * a5
则{-10, -6, -2, 0, 1, 3, 4, 16}中，只有 1，4，16符合，所以a1 = 1, a3 = 4, a5=16
又a3 = a1 * q²,所以q² = 4, q=±2，而{an}是递增的，所以取q=2,
{an}的通项公式为an = 2^(n-1)

(2)问
n=1时，求得b1=1
n=2时，求得b2=2
...
n=5时，求得b5=5
推想：{bn}通项公式为bn=n
证明：
n=1时，等式左侧=b1,等式右侧=2²-1-2=1,等式成立
假定n=k时，等式成立，即A1Bk + A2B(k-1) + ... + AkB1 = 2^(k+1) - k -2
则当n=k+1时，等式左侧=
A1B(k+1) + A2Bk + A3B(k-1) + .... + A(k+1)B1
=A1B(k+1) + q(A1BK + A2B(k-1) + ... + AkB1) //注：由An通项公式而来,提取第2到第k+1项的公因子q
=(k+1) + 2(2^(k+1) - k -2) //注：将Bn=k, A1=1代入
=2^(k+1 +1) - (k+1) - 2
等式右侧=2^(k+1 +1) - (k+1) - 2
所以，等式成立。
所以得出结论：{bn}存在，bn通项公式为bn=n