Question

已知函数f（x）= 2x+1 x+2 ，试证明f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数，并求出该函数在区间[

已知函数f（x）= 2x+1 x+2 ，试证明f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数，并求出该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

f（x）= 2x+1 x+2 =2- 3 x+2                   （1分） 在（-2，+∞）上任取x 1 ，x 2 ，使得-2＜x 1 ＜x 2 ，则                    （2分） f（x 1 ）-f（x 2 ）= 3( x 1 - x 2 ) ( x 1 +2)( x 2 +2)                            （5分） ∵-2＜x 1 ＜x 2 ， ∴0＜x 1 +2＜x 2 +2，且x 1 -x 2 ＜0                                        （8分） ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ），（9分） ∴f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数．（10分） ∵f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数， ∴f（x）在区间[1，4]上也是增函数，（11分） 当x=1时，f（x）有最小值，且最小值为f（1）=1                        （12分） 当x=4时，f（x）有最大值，且最大值为f（4）= 3 2 ．（14分）