Question

已知函数 f(x)= 4 x 2 -7 2-x ，(x∈[0，1]) （1）求f（x）的值域A（2）设a≥1，函数g（x）=

已知函数 f(x)= 4 x 2 -7 2-x ，(x∈[0，1]) （1）求f（x）的值域A（2）设a≥1，函数g（x）=x 3 -3ax-2a，x∈[0，1]的值域为B，若A?B成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵ f(x)= 4 x 2 -7 2-x ，(x∈[0，1]) ∴设t=2-x，则t∈[1，2] 函数f（x）=h（t）= 4 (2-t) 2 -7 t = 4 t 2 -16t+9 t =4t+ 9 t -16，（t∈[1，2]） ∵h′（t）=4- 9 t   2 = 4(t- 3 2 )(t+ 3 2 ) t 2 ∴函数h（t）在[1， 3 2 ）上为减函数，在[ 3 2 ，2]上为增函数，且h（1）=-3．h（2）=- 7 2 ，h（ 3 2 ）=-4 ∴h（t）∈[-4，-3]， 即f（x）的值域A=[-4，-3] （2）∵函数g（x）=x 3 -3ax-2a，x∈[0，1]， ∴g′（x）=3x 2 -3a=3（x+ a ）（x- a ），x∈[0，1] ∵a≥1，∴ a ≥1 ∴g′（x）≤0 ∴函数g（x）在[0，1]上为减函数，且g（0）=-2a，g（1）=1-5a ∴g（x）∈[1-5a，-2a]，即B=[1-5a，-2a]， ∵A?B，即[-4，-3]?[1-5a，-2a]， ∴ 1-5a≤-4 -2a≥-3 解得1≤a≤ 3 2