Question

已知抛物线y 2 =x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围.

已知抛物线y 2 =x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围.

Answer 1

-2<k<0即为所求.

解法一：设抛物线上的点A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )关于直线l对称，则y 1 2 =x 1 ,y 2 2 =x 2 . 两式相减得(y 1 +y 2 )·(y 1 -y 2 )=x 1 -x 2 ,即y 1 +y 2 = . ∵ =k AB =- ,∴y 1 +y 2 =-k.∴ =- . ∵AB中点在直线l上，∴可得 = - ,即弦的中点为( - ,- ). ∴由点斜式可得AB：y+ =- (x- + )，即x= -ky- - . 代入y 2 =x中得y 2 +ky+ + - =0. 由Δ=k 2 -4·( + - )>0,得-2<k<0即为所求. 解法二：设抛物线上的点A(y 1 2 ,y 1 )、B(y 2 2 ,y 2 )关于直线l对称，则 ∴y 1 、y 2 是方程t 2 +kt+ + - =0的两个不同根. ∴Δ=k 2 -4( + - )>0,得-2<k<0即为所求.