Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+ 3 2 ）=-f（x），且函数y=f（x- 3 4

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+ 3 2 ）=-f（x），且函数y=f（x- 3 4 ）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（- 3 4 ，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

对于①：∵f（x+3）=-f（x+ 3 2 ）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对 对于②：∵y=f（x- 3 4 ）是奇函数∴其图象关于原点对称 又∵函数f（x）的图象是由y=f（x- 3 4 ）向左平移 3 4 个单位长度得到． ∴函数f（x）的图象关于点（- 3 4 ，0）对称，故②对． 对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（- 3 4 -x）=-f（ - 3 4 + x），用 3 4 +x 换x，可得：f（- 3 2 -x）+f（x）=0 ∴f（- 3 2 -x）=-f（x）=f（x+ 3 2 ）对于任意的x∈R都成立． 令t= 3 2 +x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对． 对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对． 故答案为：①②③．