Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=5，S5=35．设数列{bn}满足an=log2bn．（1）求数列{bn}的前n项和Tn；（2

设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=5，S5=35．设数列{bn}满足an=log2bn．（1）求数列{bn}的前n项和Tn；（2）设Gn=a1?b1+a2?b2+…+an?bn，求Gn．

Answer 1

（1）由题意得

a1+d＝5 5a1+10d＝35

，解得

a1＝3 d＝2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
由a_n=log₂b_n，得bn＝2an=2²ⁿ⁺¹，
∴

bn+1

bn

＝

22n+3

22n+1

=4，
∴数列{b_n}是以4为公比，b1＝23=8的等比数列，
∴Tn＝23+25+…+22n+1=

8(1?4n)

1?4

=

8

3

(4n?1)．     
（2）G_n=3?2³+5?2⁵+…+（2n+1）?2²ⁿ⁺¹，
将上式两端同时乘以4，得4Gn＝3?25+5?27+…+(2n?1)?22n+1+（2n+1）?2²ⁿ⁺³，
两式相减，得-3Gn＝3?23+（2?2⁵+2?2⁷+…+2?2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）?2²ⁿ⁺³
=24+（2⁶+2⁸+…+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）?2²ⁿ⁺³
=24