Question

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式f(x1)+f(x2)2≤f（x1+x22）

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式f(x1)+f(x2)2≤f（x1+x22）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；（2）设f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．

Answer 1

（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（

x1+x2

2

）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（

x1+x2

2

）²+b（

x1+x2

2

）+c]=ax₁²+ax₂²-

1

2

a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=

1

2

a（x₁-x₂）²             （3分）
∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

），即

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）
（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax²≤-x+1，
∴a≤

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1，当

1

x

=1时，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取到最小值为0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）
（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=

1

f(?x)

；
若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]²；          （14分）
若n＜0，n∈Z，则-n∈N^*，