Question

点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD体积的最大值为43，则该球的表面积为（　

点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD体积的最大值为43，则该球的表面积为（　　）A．16π3B．8πC．9πD．12π

Answer 1

解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为

1

3

×S_△ABC×DQ=

4

3

，
S_△ABC=

1

2

AC?BQ=

1

2

×2

2

×

2

即

1

3

×

1

2

×

2

×2

2

×DQ=

4

3

，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（

2

）²+（2-R）²，∴R=

3

2

则这个球的表面积为：S=4π（

3

2

）²=9π；
故选：C．