Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，a＞1．（1）求证函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若函数y=|f（x）-b

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，a＞1．（1）求证函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若函数y=|f（x）-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；（3）若对于任意的x∈[-1，1]时，都有f（x）≤e2-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明∵f（x）=a^x+x²-xln a，
∴f′（x）=a^x?ln a+2x-ln a=（a^x-1）ln a+2x．…（2分）
∵a＞1，x＞0，∴a^x-1＞0，ln a＞0，2x＞0，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增…（4分）
（2）解：由（1）知当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴f（x）取得最小值为f（0）=1…（5分）
由|f（x）-b+

1

b

|-3=0，得f（x）=b-

1

b

+3或f（x）=b-

1

b

-3，
∴要使函数y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四个零点，只需

b? 1 b +3＞1 b? 1 b ?3＞1

…（7分）
即b-

1

b

＞4，即

b2?4b?1

b

＞0，解得b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0．
故b的取值范围是（2-

5

，0）∪（2+

5

，+∞） …（8分）
（3）解：由（1）知f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
f（-1）=

1

a

+1+ln a，f（1）=a+1-ln a，∴f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2ln a
令H（x）=x-

1

x

-2ln x（x＞0），则H′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=

x2?2x+1

x2

=

(x?1)2

x2

＞0，
∴H（x）在（0，+∞）上单调递增．∵a＞1，∴H（a）＞H（1）=0．
∴f（1）＞f（-1）
∴|f（x）|的最大值为 f（1）=a+1-ln a，…（12分）
∴要使f（x）≤e²-1恒成立，只需a-ln a≤e²-2即可
令h（a）=a-ln a（a＞1），h′（a）=1-

1

a

＞0，∴h（a）在（1，+∞）上单调递增．
∵h（e²）=e²-2，∴只需h（a）≤h（e²），即1＜a≤e²．
故a的取值范围是（1，e²]…（14分）