Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A的外角平分线交BC的延长线于D，交⊙O于E，求证：AD2=BD?CD-AB?AC

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A的外角平分线交BC的延长线于D，交⊙O于E，求证：AD2=BD?CD-AB?AC．

Answer 1

证明：连接EC，如图所示，
根据圆周角定理可得∠CEA=∠CBA．
∵∠3=∠2，∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴∠EAC=∠BAD．
∵∠CEA=∠CBA，∠EAC=∠BAD，
∴△CEA∽△DBA，
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
∴AB?AC=AD?AE．
∵∠D=∠D，∠CED=∠ABD，
∴△DEC∽△DBA，
∴

DE

DB

=

DC

DA

，
∴DE?DA=DB?DC，
∴AB?AC=AD?AE=AD?（DE-AD）=AD?DE-AD²，
∴AD²=AD?DE-AB?AC=BD?CD-AB?AC．