Question

抛物线C：y2=2px经过点M（4，-4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为12，求

抛物线C：y2=2px经过点M（4，-4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为12，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：抛物线C：y²=2px经过点M（4，-4），
即有16=8p，解得，p=2．
则抛物线方程为y²=4x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程是y＝

1

2

x+m，
由

y＝ 1 2 x+m y2＝4x

，得y²-8y+8m=0，

y1+y2＝8 y1y2＝8m

kAM+kBM＝

y1+4

x1?4

+

y2+4

x2?4

＝

4

y1?4

+

4

y2?4

＝

4(y1+y2?8)

(y1?4)(y2?4)

＝0，
则直线MA与直线MB的倾斜角互补．
（2）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点M，则由

MP

⊥

MQ

，
即有

MP

?

MQ

=0，
则（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
即(

y 2 1

4

?4)(

y 2 2

4

?4)+(y1+4)(y2+4)＝0，
化简，得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，
则过PQ的直线为y＝

4

y1+y2

(x+

y1y2

4

)=

4

y1+y2

(x+

4(y1+y2)?32

4

)=

4

y1+y2

(x?8)+4，
则直线恒过定点（8，4）．