Question

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点．（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，PBPQ=______；（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，PBPQ=______；（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求PBPQ的值，并说明理由．

Answer 1

（1）1；

（2）1；

（3）如图3，

PB

PQ

=1，
过点P作PN⊥AB，垂足N在AB的延长线上，PN交CQ于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易证△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠PBN=90°-∠BPN，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴PQ=PB，
∴

PB

PQ

=1，
如图4，

PB

PQ

=1，
过点P作PN⊥AB，垂足N在BA的延长线上，PN的延长线交CQ于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易证△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠2=90°-∠BPN，
∴△BNP≌△PMQ（ASA），
∴PB=PQ，
∴

PB

PQ

=1．