Question

（2005?广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点

（2005?广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

Answer 1

（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

．
（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k_OG?k=-1，

1

a

k=-1?a=-k．
故G点坐标为G（-k，1）（-2≤k＜0）．
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-

k

2

，

1

2

）．
折痕所在的直线方程y-

1

2

=k（x+

k

2

），即y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，y=

1

2

；k≠0时y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．

（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；
（2）当k≠0时，①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，

k2+1

2

），P（2，2k+

k2+1

2

）．

这时，-2+

3

＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-

3

））
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，

k2+1

2

），P（-

k2+1

2k

，0）．

这时，-1≤k≤-2+

3

，y=(

k2+1

2

)2+(?

k2+1

2k

)2=

(k2+1)3

4k2

．
y′=

3(k2+1)2?2k?4k2?(k2+1)3?8k

16k4

=

(k2+1)2(2k2?1)

2k3

令y′=0解得k=-

2

2

，
∵y=|_k=-1=2，y=|k＝?

2

2

=

27

16

，y|k＝?2+

3

=16（2-

3

），
∴y∈[

27

16

，16（2-

3

）]
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（

1?k2

2k

，1），P（-

k2+1

2k

，0）．

这时，-2≤k＜-1，y=PN²=(

1

k

)2+1∈[

5

4

，2）．
综上述，y_max=16（2-

3

）
所以折痕的长度的最大值

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