Question

已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n-1（n∈N*）．（1）求证数列{an+n}是等比数列，并求an（2）若数列{bn}

已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n-1（n∈N*）．（1）求证数列{an+n}是等比数列，并求an（2）若数列{bn}中1＞2=6，前n项和为Tn，且9Tn-a=（an+n）bn（n∈N*），求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

（1）由题设得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）∵a₁+1=3　　
∴{a_n+n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an+n=3ⁿ
∴an=3ⁿ-n
（2）∵9^T_n-a=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），即3^2T_n-2n=3^nb_n
∴2T_n-2n=nb_n  ①
由①得2T_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1     ②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0   ③
由③得nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0   ④
④-③得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0 
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n
∴{b_n}是等差数列
由9^b1-1=3^b1  得b₁=2，又∵b₂=6
∴公差d=4
∴b_n=b₁+（n-1）d=4n-2