Question

已知数列{an}中，a1=2,a2=4,a（n+1）=3an-2a（n-1） (1) 证明：数列{a（n+1）-an}是等比数列，并求出{an}

已知数列{an}中，a1=2,a2=4,a（n+1）=3an-2a（n-1） (1) 证明：数列{a（n+1）-an}是等比数列，并求出{an}通项公式。
会证等比，但是an的通项公式怎么求？ 我怎么求的是2^(n+1) .....
哪里出错了？
由题
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=8
....
an-a(n-1)=2^n
累加
所以an-a1=2+4+8+...+2^n .
然后 an-a1=2^(n+1)-2 因为a1=2 所以an=2^(n+1) ？？？哪里错了

Answer 1

你错在2+4+...+2^(n-1)，而不是2+4+...+2ⁿ，共n-1项相加，不是n项。

证：
n≥2时，
a(n+1)=3an-2a(n-1)
a(n+1)-an=2an-2a(n-1)=2[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2，为定值。
a2-a1=4-2=2，数列{a(n+1)-an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
a(n+1)-an=2ⁿ
an-a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2+2²+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2ⁿ-2
an=a1+2ⁿ-2=2+2ⁿ-2=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ。