Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为 2 3 ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为 2 3 ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则 2c=2 2b=2 3 a 2 = b 2 + c 2 解得 a=2 b= 3 ∴椭圆C的标准方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ．（4分） （Ⅱ）由方程组 x 2  4 + y 2 3 =1 y=kx+m 消去y，得（3+4k 2 ）x 2 +8kmx+4m 2 -12=0．（6分） 由题意△=（8km） 2 -4（3+4k 2 ）（4m 2 -12）＞0， 整理得：3+4k 2 -m 2 ＞0①（7分） 设M（x 1 ，y 1 ）、N（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =- 8km 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4 m 2 -12 3+4 k 2 ．（8分） 由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）， ∴（x 1 -2）（x 2 -2）+y 1 y 2 =0．　　　　（10分） 即（1+k 2 ）x 1 x 2 +（km-2）（x 1 +x 2 ）+m 2 +4=0， 也即 (1+ k 2 )? 4 m 2 -12 3+4 k 2 +(km-2)? -8km 3+4 k 2 + m 2 +4=0 ， 整理得7m 2 +16mk+4k 2 =0． 解得m=-2k或 m=- 2k 7 ，均满足①（11分） 当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去； 当 m=- 2k 7 时，直线l的方程为 y=k(x- 2 7 ) ，过定点 ( 2 7 ，0) ， 故直线l过定点，且定点的坐标为 ( 2 7 ，0) ．（13分）