Question

线性代数向量组的秩，为什么线性无关的向量还可以表示其它的向量呢？

T中任一向量a可由a1、a2、.....、am线性表示，不理解啊

Answer 1

举个最简单的例子吧，二维空间也就是平面向量，a,b两个向量垂直，就线性相关性来说，a,b线性无关，但是平面内任意一个向量都可以由a,b两个向量表示，三维空间以此类推，类推下去，n维向量组同样适用。

Answer 2

这个"任一向量 a" , 可以是 T 中 的 a1, a2, ..... , am 之一,
也可以是 a1, a2, ..... , am 之外的向量.
若是 a1, a2, ..... , am 中之 ak (k = 1, 2, ... , m), 则
ak = 0a1+0a2+ ... +1ak + ... + 0am, 也是线性表示.

Answer 3

求矩阵的秩：

求矩阵的秩的公式： A=(aij)m×n 。矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

秩的定理有哪些？

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的 矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

2、初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。另外：分块矩阵也可以定义初等变换。定义：如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。

3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。