Question

已知函数f(x)=x³-6ײ+9x+16+求f(x)的单调区间及极值

Answer 1

【证】
f(x)=x³-6x²+9x+16
a=1>0
Δ=4b²-12ac=4×(-6)²-12×1×9=144-108=36>0
所以：f(x)具有三个单调区间（前后两个区间增，中间区间减）和两个极值。
【解】
xₘₐₓ=[-b-√(b²-3ac)]/3a=[6-√(6²-27)]/3=1
f(x)ₘₐₓ=1³-6×1²+9×1+16=20
xₘᵢₙ=[-b+√(b²-3ac)]/3a=[6+√(6²-27)]/3=3
f(x)ₘᵢₙ=3³-6×3²+9×3+16=16
【答】
f(x)在(-∞,1]区间单调递增，在[1,3]区间单调递减，在[3,+∞)区间单调递增。
f(x)当x=1时，取得极大值f(x)ₘₐₓ=20；当x=3时，取得极小值f(x)ₘᵢₙ=16。

Answer 2

f(x)=x³-6x²+9x+16
则，f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-1)(x-3)
当x＞3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当1＜x＜3时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
所以，f(x)有极大值f(1)=1-6+9+16=20；极小值f(3)=16.