Question

二阶偏导数的定义。

Answer 1

下面的说法是个人研究，不敢保证绝对正确，仅供大家参考。

首先一阶偏导，以z=f(x,y)为例，是固定一个元的值，专门以研究另外两个元的变化关系，与物理的控制变量法相似。原本函数f代表了一个曲面，当一个元比如y固定的时候，就会在曲面上截出一条曲线，所以z=f(x,y0)就代表了这条曲线，如图：

蓝色实线就是这条曲线，此时若对其求导，就是求这条曲线的导函数，即一阶偏导fx(x,y0)。

而一阶偏导即这个曲线的导函数，是一条新曲线。

二阶偏导数，就是建立在这个新曲线的基础之上。

若不是混合偏导数，比如fxx(x,y),就是对x再求一次导，即导函数的导函数，即蓝实线的导函数。

若是混合偏导数，比如fxy(x,y),首先,当我们先求出一阶偏导fx(x,y0)后，接下来就要对y求导了吧？而按照求一阶偏导的规矩,应该先固定那个不研究的元，在这里即固定x，而对y的固定这时应该解固了，就是说，原本的蓝实线的导函数(一阶偏导)就不再有y0固定它了，意味着这个新曲线可以按照y轴的伸展方向无限延展，从而形成一个新的曲面，如图：

即黑色平面，同时由于x的固定，又会截出一条曲线，即粉实线。固定之后求导，即二阶混合偏导数，即粉实线的导数。

而二阶偏导数之所以没有出现x0,y0等字眼，我想应该是因为x等先固定又解固，无法准确的用一个x0代表两个相反过程。而二阶非混合偏导数，其中一个元一直是固定的，我想应该是可以写成y0或是x0，不过被省略了，在求导过程中把这些被固定的x,y当成常数来处理也证实了这一点。

以上的说法仅是个人的研究，不敢说是绝对正确，只是希望自己的见解能够帮到大家，给大家一点参考作用而已，非常欢迎大家能帮我指正其中的错误与不足，谢谢。