Question

数学分析理论基础5：数列极限概念

Answer 1

定义：若函数f的定义域为 ,则称 或 为数列

数列f(n)可写作 ,简写作 ,其中 为通项

数列极限的 定义：

设 为数列, ,使当 时有

则称数列 收敛于a,称a为数列 的极限

记作 或

若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列

例：证明 ,其中

证：

例：证明 ,其中

证：

法二：

例：证明 ,其中

证：

例：证明

证：

定义： ,若数列 在 外至多有有限项,则称数列 收敛于a

若 ,使数列 有无穷多项落在 外,则 不以a为极限

例：证明 和 都是发散数列

证：

例：设 , ,作数列 为 ,求证：数列 收敛的充分必要条件是a=b

证：

例：设 为给定的数列, 为对 增加、减少或改变有限项后得到的数列,证明：数列 与 同时收敛或发散,且在收敛时两者极限相等

证：

定义：若 ,则称 为无穷小数列

定理：数列 收敛于a的充要条件是 为无穷小数列

定义：若数列 满足 , ,使得当 时有 ,则称数列 发散于无穷大,记作 ,或

注：若 ,则称 是一个无穷大数列或无穷大量

定义：若数列 满足 , ,使得当 时有 ,则称数列 发散于正(负)无穷大,记作 ,或 ( 或 )

注：无界数列不一定是无穷大量,如