Question

2.三角形的SAS全等

Answer 1

三角形的SAS全等在《几何原本》中是第一卷第4命题。
在《几何基础》中，一部分作为公理出现，一部分作为定理。

作为角的合同公理，是合同公理中很重要的一个。根据这个公理，直接得到一个角相等。间接可以得到三角形的三个角对应相等。而且，还有已知的两条边相等。

根据合同公理，证明SAS全等，等价于：
已知两个三角形ABC和A'B'C'中，对应的角相等，且AB=A'B'，AC=A'C',求证，BC=B'C'。

《几何基础》合同公理，第五条：
若两个三角形ABC 和A'B'C'中有下列合同：
AB=A'B', AC=A'C', 角BAC=角B'A'C'
则也恒有合同式
角ABC=角A'B'C'。

交换记号以后，就可以得到角C=角C'。

证明SAS全等公理，同样用反证法。

先假设这两个三角形不能合同，也就是最后一组边BC和B'C'不相等。

既然假设了不相等，那么，在射线B'C'上总能找到不同于C'的一点，设为C''，使得B'C''等于BC。

而角B'=角B, B'A'=BA，由合同公里，就可得到角C''A'B'合同于角A。而已知 C'A'B' 等于角A，所以角度C'A'B'与角C''A'B'合同，而C'和C''在B的同侧，那么，这两点重合。这与假设矛盾。

因此，B'C'不能不等于BC.

所以，B'C'=BC.

最终，三角形ABC全等于三角形A'B'C'。

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说明：
遇到SAS情形证明角度相等，可以/一定要

因为，在希尔伯特体系中，这是一个公理。三角形全等是定理。
在《原本》中，也是在同一个命题中说明的，同时说明了所有的相等。

如果通过SAS，写了三角形全等式，再写由于全等，所以角度相等，反而颠倒因果。从定理推导出了公理。但初中、高中似乎没有严格要求的这些。

几何学家，希望把公理的体系最小化，才出现了这样的情形。如果，不在意公理稍稍冗余，那么，SAS三角形全等可以作为公理。

三角形全等，其它几种判定方法是：SSS,ASA,AAS。

只有SAS全等最特殊。SAS全等只能用来说明第三边相等。

只列举SAS，不言全等，则可以断言其它角相等。