Question

椭圆内接矩形的最大面积，怎么求

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0，b>0)，则(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2

再设矩形在第一象限的顶点为P(x，y)

故S=4xy

得S=(2/ab)[2(bx)(ay)]≤(2/ab)[(bx)^2+(ay)^2]=2ab

当且仅当y/x=b/a时取等号

故S最大=2ab

椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）。

扩展资料：

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处。

椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

参考资料来源：百度百科——椭圆

Answer 2

设椭圆是x²/a²+y²/b²=1
设第一象限的顶点是(acosm,bsinm)
其中m是锐角
则第一象限内的面积是acosm*bsinm
=(ab/2)*sin2m
所以m=π/4时面积最大
是ab/2
这是1/4个内接矩形
所以最大面积是2ab

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示