Question

问: （2014•辽宁）设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x^2-8x+1．记f

问: （2014•辽宁）设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x^2-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2f（x）+x[f（x）]^2≤1/4

我有答案，求答案每步的详解！！

Answer 1

Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得
x≥1
3x−3≤1
 ①，或
x＜1
1−x≤1
 ②．
解①求得1≤x≤
4
3
，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，
4
3
]．
（Ⅱ）由g（x）=16x2-8x+1≤4，求得-
1
4
≤x≤
3
4
，∴N=[-
1
4
，
3
4
]，∴M∩N=[0，
3
4
]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1-x，x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]
=
1
4
-(x−
1
2
)2≤
1
4
，

Answer 2

追问

第一步为什么这么做？

追答

第一题求M，也就是求f（x）≤1的解集，即2|x-1|+x-1≤1的解。关于这个不等式的求解，需要分情况讨论：
（1）当x≥1时，2|x-1|+x-1=2（x-1）+x-1=3x-3≤1
（2）当x＜1时，2|x-1|+x-1=2（1-x）+x-1=1-x≤1
将以上两种情况求解后取并集就可以了。

这样子解释，能明白么？

Answer 3

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