Question

向量点到直线的距离公式是什么？

Answer 1

向量点到直线的距离公式是：

设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：

同理可知，当P（x0，y0），直线L的解析式为y=kx+b时，则点P到直线L的距离为：

考虑点(x0，y0，z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0，y1-y0，z1-z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)。

证明方法

把平面的直线方程Ax+By+C=0，看成是一个xyz空间的方程，它是一个无z方程，也就是个直线柱面（即平面）的方程。

然后求点(x0，y0，0)到这个平面的距离（因为它就=(xy面中点(x0，y0)到Ax+By+C=0的距离，因为这相当于点到空中那个平面在xy的投影线的距离）。

而根据空间中点(x0，y0，z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式：

d=|Ax0+By0+Cz0+D|/[√(A^2+B^2+C^2)]。

Answer 2

向量点到直线的距离可以使用以下公式计算：
设直线上一点为 P，直线的方向向量为 v，待计算的点为 A。则点 A 到直线的距离可以通过将向量 PA 投影到垂直于直线的方向上来计算。
距离公式如下：
d = |(A - P) - ((A - P) · v) * v|
其中，
- |u| 表示向量 u 的长度（模）。
- u · v 表示向量 u 和 v 的点积（数量积）。
- (A - P) 表示向量 A 到 P 的差向量。
这个公式的推导基于向量的投影概念，它的思想是找到点 A 到直线的垂直距离。
注意，这个公式适用于二维空间和三维空间中的直线。在更高维度的情况下，可以将该方法推广为点到超平面的距离计算。

Answer 3

向量点到直线的距离可以通过以下公式计算：
d = |(P - A) × n| / |n|
其中，P表示向量点的坐标，A表示直线上的一点坐标，n表示直线的法向量，"×"表示向量的叉乘运算，"|"表示向量的模或长度。
这个公式的推导基于向量的投影。首先，从点P到直线上的点A的连线是直线的一个方向向量，可以用(P - A)表示。然后，取直线的法向量n。如果直线不过原点，则n是垂直于直线且模为1的向量。最后，计算(P - A)与n的叉乘的模除以n的模，就得到了点到直线的距离。
需要注意的是，如果直线过原点，需要首先将直线平移至不过原点的位置，然后再应用上述公式进行计算。
这个公式适用于二维和三维情况下的点到直线的距离计算。

追答

向量点到直线的距离可以通过以下公式计算：
d = |(P - A) × n| / |n|
其中，P表示向量点的坐标，A表示直线上的一点坐标，n表示直线的法向量，"×"表示向量的叉乘运算，"|"表示向量的模或长度。
这个公式的推导基于向量的投影。首先，从点P到直线上的点A的连线是直线的一个方向向量，可以用(P - A)表示。然后，取直线的法向量n。如果直线不过原点，则n是垂直于直线且模为1的向量。最后，计算(P - A)与n的叉乘的模除以n的模，就得到了点到直线的距离。
需要注意的是，如果直线过原点，需要首先将直线平移至不过原点的位置，然后再应用上述公式进行计算。
这个公式适用于二维和三维情况下的点到直线的距离计算。

Answer 4

三个向量相加等于0可以得出向量合成定论。其中两个向量合成与第三个向量等大反向。所以三个向量和为0向量。三个向量不能在一条直线的情况下，三个向量相加为零向量时这三个向量才能构成三角形。

向量的作用

向量是既有大小又有方向的物理量。如力学中的力是向量，力作用于物体所产生的效应，与力的大小和方向都有关。速率(speed)只表示快慢，不指示方向，它不是向量，而速度则是向量。一个向量可以用一个有箭头的线段来表示，线段的长度按一定比例表示向量的大小，而线段的箭头则表示向量的方向。

向量的作用最主要就是体现其工具性。为了应用向量证明数学问题，在学习三角函数的图象与性质后，没有立即学习三角恒等变换，而是插入了向量一章，利用向量的合成引入了两角和与差公式。

Answer 5

向量的概念在我们小学阶段就接触过，但你知道向量的基本运算吗？什么是向量的运算？
我们来了解一下。
向量点是一个由向量组成的集合，向量可以用符号A （a,b）来表示，可以用标量A （a,b）来表示。向量点只有一个，并且每个向量都是唯一的。
在几何上，向量就是长度、面积、角度等的度量。把一条直线分为两个部分：（a,b），这两个部分就是长度、面积、角度。比如：在一个平面内画一条直线，你就可以通过它把另外一个平面分为两个部分。同理，你可以将一个向量分成两个部分：（a,b）或（a+b）。

1、求两个向量的夹角
两个向量的夹角，我们先来定义一下夹角的概念：
向量的夹角：即两个向量（a,b）的夹角。
两个向量是可以互相变换的，那么这两个向量就有了角度关系。当一个向量移动时，另一个向量也会跟着移动，而且这个移动可以看成是平行移动。比如：
（a+b）2+(a+b）3=2,这个两个向量就是平行的。那么我们就可以用夹角公式来求它们的夹角：
我们知道，一个向量到另一个向量的距离等于它们两个方向之间夹角的平方。那么这个夹角就是我们上面求出来的夹角，它就等于2^2-1。所以向量A到直线的距离=2^2-1=2^2+1=2^2-1=2^2

2、求两个向量的积
两个向量的积，我们叫它向量积，这是数学里的基本概念。
两个向量的积等于这两个向量所对应的坐标的乘积，也就是它们在坐标轴上所对应的位置之间的距离。
在数学里，我们把坐标轴称为向量轴。
向量轴上可以有很多点，比如0、1、2、3,这些点都可以表示为向量，它们在0到1之间。我们称这些点为向量点。
那么两个向量的积就是两个向量所对应的坐标之积。
向量积等于向量所对应的坐标之积，所以两个向量之间有两个关系：一个是对应关系，一个是数量关系。
比如：一条直线和一个平面平行，它们之间就有两种对应关系：一种是垂直关系；另一种是平行关系。
向量积可以用来表示平面上的两个点之间距离和方向。

3、求向量的长度
把一条直线分为两个部分，那么长度就可以表示为：
如果我们要用向量的长度去度量一条直线的距离，那我们要用一个坐标来表示这条直线的位置，这个坐标叫做向量的原点。有了这个坐标，我们就可以用向量长度去度量这条直线的距离。
接下来我们把这条直线分成两个部分，如果你把直线的一半分成两个部分，那长度就是（a+b）；如果你把直线分成三个部分，那么长度就是（a+b）+（a+c）。我们现在拿出一条向量来，对着这个坐标系来画一条向量，这条向量的长度就是（a+b）。
然后我们用向量长度去度量这条直线的距离，这个向量叫做向量的长度。

4、求两个向量的距离
设A (a,b)=\ sqrt {(a+b)^2}=\ sqrt {(a+b)^2}，则有：
A (a,b)= ab= ab+ ba；
这两个向量的距离，也就是A （a,b）与B （a,b）之间的距离。我们用字母表示就是：
通过这个公式，我们就可以知道两个向量之间的距离。接下来，我们用向量的基本运算来做一些练习。