Question

高数大神求教！！！！问一下，例7图像是如何画出来的？这不像是反比例函数图像呀！！

Answer 1

图1-25不是来说明例7的。
是用来说明例7上面那段话的。

追问

我不明白的是，函数极限的有界性和保号性，都是局部的，这是为何？？

为什么数列不是？？？

追答

函数极限的有界性和保号性，是在所讨论的点的小邻域内讨论的。因此是局部的。

而数列是离散的，没有像函数那样的邻域可言。

追问

如果，x趋于无穷，这不是和数列一样吗？

追答

一般函数极限的保号性，讨论的是某个点x0,在其邻域内的情况。
而数列的离散性，使得这种讨论对数列极限来说是没意义的。

因此，一般数列极限的保号性讨论的都是n-->∞ 时的情况，但想法上和函数极限的小邻域是类似的。

追问

例7这个函数有局部保号性吗？

如果要讨论，是该如何讨论？

追答

你对这个概念或者定理还是不太理解，先看一下定理：
局部保号性指的就是如果函数在某一点的极限不等于零，那么在这个点的临近（就是小的空心邻域），函数具有保持符号（与极限的符号相同）的性质。

在这个例题中，极限为0，因此就谈不上保号性了。
假如极限为1，那么这个题的保号性就可以理解为：
存在X>0，当x>X时，使得f(x)>0.

追问

就假如 极限是1。可是它是趋于无穷，不是趋于一个点，这如何讨论？？？

趋于无穷，那就没法在领域里讨论了吧

追答

比如改成 lim x->+∞ (1/x+1)=1,此时极限就是1,f(x)=1/x+1.
则存在X>0，当x>X时，使得f(x)>0.

实际上类似邻域的思想，只不过由邻域变为了（X,+∞）这个范围.

追问

既然趋于无穷了，那它的的局部体现在哪？