如何解释y=x的绝对值的导数

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灬悠中那常8
2022-12-12 · TA获得超过115个赞
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1)根据导数的定义
函数 y=│x│是连续函数,但是 y=-x (x≤0),y=x (x>0),则在 x=0 处,
其左导数为 lim[f(0+△x)-f(0)]/△x=[0-△x-0]/△x= -△x/△x=-1,
其右导数为 lim[f(0+△x)-f(0)]/△x=(0+△x-0)/△x= △x/△x=1,
在 x=0 处左右导数并不相等,所以 y=│x│在 x=0 处不可导.
而对于函数 y= x^(1/3),导函数为 y'=[x^(-2/3)]/3,在 x=0 处 y'→∞,
即 在 x=0 处左右“导数”皆非有限值,不符合可导的定义.
(2)图像法
作图可知 y=│x│的图像为折线,在 x=0 处左右导数分别是 -1、1,所以原函数
在 x=0 处不可导;
y= x^(1/3) 的图像在 x=0 处左、右部分均和 y 轴相切,而 y 轴“斜率”为 ∞
即原函数 在 x=0 处的“导数”为 ∞,于是 原函数 在 x=0 处不可导.
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