已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.?
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解题思路:(1)根据指数函数值大于0恒成立,将不等式f(x)>0化为ax 2+x>0,结合a<0,可得不等式f(x)>0的解集;
(2)当a=0时,方程即为xe x=x+2,即 e x − 2 x −1=0 ,令h(x)= e x − 2 x −1 ,利用导数法可判断出h(x)的单调性,结合零点判定定理,可得正整数k的值
(3)求出函数f(x)的导函数的解析式,进而由f(x)在[-1,1]上是单调增函数,f′(x)≥0恒成立,对a进行分类讨论后,可得a的取值范围.
(1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0,
又因为a<0,所以不等式可化为x(x+[1/a])<0,
所以不等式f(x)>0的解集为(0,-[1/a]).
(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解
所以原方程等价于ex−
2
x−1=0,令h(x)=ex−
2
x−1,
因为h′(x)=ex+
2
x2>0对于x∈(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(0,+∞)内是单调增函数,
又h(1)=e-3,h(2)=e2-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有1个实数根,在区间[1,2],
所以正整数k的值为 1.
(3)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)•g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,
故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,因为g(0)=1>0,
必须满足
g(1)≥0
g(−1)≥0即
3a+2≥0
−a≥0,所以−
2
3≤a<0.
综上可知,a的取值范围是[−
2
3,0].
,1,已知函数f(x)=(ax 2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.
(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;
(2)当a=0时,求正整数k的值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解;
(3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围.
(2)当a=0时,方程即为xe x=x+2,即 e x − 2 x −1=0 ,令h(x)= e x − 2 x −1 ,利用导数法可判断出h(x)的单调性,结合零点判定定理,可得正整数k的值
(3)求出函数f(x)的导函数的解析式,进而由f(x)在[-1,1]上是单调增函数,f′(x)≥0恒成立,对a进行分类讨论后,可得a的取值范围.
(1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0,
又因为a<0,所以不等式可化为x(x+[1/a])<0,
所以不等式f(x)>0的解集为(0,-[1/a]).
(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解
所以原方程等价于ex−
2
x−1=0,令h(x)=ex−
2
x−1,
因为h′(x)=ex+
2
x2>0对于x∈(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(0,+∞)内是单调增函数,
又h(1)=e-3,h(2)=e2-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有1个实数根,在区间[1,2],
所以正整数k的值为 1.
(3)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)•g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,
故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,因为g(0)=1>0,
必须满足
g(1)≥0
g(−1)≥0即
3a+2≥0
−a≥0,所以−
2
3≤a<0.
综上可知,a的取值范围是[−
2
3,0].
,1,已知函数f(x)=(ax 2+x)e x,其中e是自然数的底数,a∈R.
(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;
(2)当a=0时,求正整数k的值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解;
(3)若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围.
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