解析如下：
（1）替换 x=tan t, -pi/2<t<pi/2
dx=sec^2 t dt
（2）根号(1+x^2)=根号(1+tan t^2)=sec t积分
=积分 sec^3 t dt
=积分 sec t sec^2 t dt
=积分 sec t d (tan t)
（3）分部积分
=sec t * tan t - 积分 tan t * sec t tan t dt
=sec t * tan t - 积分 (sec^2 t -1) sec t dt
=sec t * tan t - 积分 sec^3 t dt + 积分 sec t dt
（4）左右两边都有 积分 sec^3 t dt,合并到左边
2 积分 sec^3 t dt =sec t tan t +ln|sec t+tant |
（5）积分 sec^3 t dt =1/2*[sec t tan t +ln|sec t+tant |]+C
（6）然后就得代会去，x=tan t, sec t= 根号(1+tan^2 t)=根号(1+x^2)
积分=1/2*[ x*根号(1+x^2)+ln|x + 根号(1+x^2)| ]+C
拓展资料：
1、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
2、积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
3、如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作
4、其中的 
5、如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数 
6、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
7、它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
8、分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
参考资料：百度百科：积分
根号（1+x平方）的积分的解法：
令x＝tanα，则：√（1＋x^2）＝√［1＋（tanα）^2］＝1/cosα， dx＝［1/（cosα）^2］dα。
sinα＝√｛（sinα）^2/［（sinα）^2＋（cosα）^2］｝＝√｛（tanα）^2/［1＋（tanα）^2｝
＝x/√（1＋x^2），
∴原式＝∫｛（1/cosα）［1/（cosα）^2］｝dα
＝∫［cosα/（cosα）^4］dα
＝∫｛1/［1－（sinα）^2］^2｝d（sinα）。
再令sinα＝u，则：
原式＝∫［1/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［（1＋u＋1－u）^2/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［（1＋u）^2/（1－u^2）^2］du＋（1/2）∫［（1－u^2）/（1－u^2）^2］du＋（1/4）∫［（1－u）^2/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［1/（1－u）^2］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］du
＝－（1/4）∫［1/（1－u）^2］d（1－u）＋（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］d（1＋u）
＝（1/4）［1/（1－u）］－（1/4）［1/（1＋u）］＋（1/4）∫［1/（1－u）］du
＋（1/4）∫［1/（1＋u）］du
＝（1/4）［1/（1－sinα）］－（1/4）［1/（1＋sinα）］
－（1/4）∫［1/（1－u）］d（1－u）＋（1/4）∫［1/（1＋u）］d（1＋u）
＝（1/4）｛1/［1－x/√（1＋x^2）］｝－（1/4）｛1/［1＋x/√（1＋x^2）］｝
－（1/4）ln｜1－u｜＋（1/4）ln｜1＋u｜＋C
＝（1/4）［1＋x/√（1＋x^2）－1＋x/√（1＋x^2）］/［1－x^2/（1＋x^2）］
＋（1/4）ln｜1＋sinα｜－（1/4）ln｜1－sinα｜＋C
＝（1/4）［2x/√（1＋x^2）］/［（1＋x^2－x^2）/（1＋x^2）］
＋（1/4）ln［｜1＋x/√（1＋x^2）｜/｜1－x/√（1＋x^2）｜］＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］｜＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］^2/（1＋x^2－x^2）｜＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/2）ln｜x＋√（1＋x^2）｜＋C
扩展资料：
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
通常意义
积分都满足一些基本的性质。以下的 
线性
积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个 
参考资料：百度百科——积分
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解题方法如下：
令x＝tanα,则：√（1＋x^2）
＝√［1＋（tanα）^2］＝1/cosα,
dx＝［1/（cosα）^2］dα.
sinα＝√｛（sinα）^2/［（sinα）^2＋（cosα）^2］｝
＝√｛（tanα）^2/［1＋（tanα）^2｝
＝x/√（1＋x^2）,
∴原式＝∫｛（1/cosα）［1/（cosα）^2］｝dα
＝∫［cosα/（cosα）^4］dα
＝∫｛1/［1－（sinα）^2］^2｝d（sinα）.
再令sinα＝u,则：
原式＝∫［1/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［（1＋u＋1－u）^2/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［（1＋u）^2/（1－u^2）^2］du＋（1/2）∫［（1－u^2）/（1－u^2）^2］du
＋（1/4）∫［（1－u）^2/（1－u^2）^2］du
＝（1/4）∫［1/（1－u）^2］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］du
＝－（1/4）∫［1/（1－u）^2］d（1－u）＋（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］d（1＋u）
＝（1/4）［1/（1－u）］－（1/4）［1/（1＋u）］＋（1/4）∫［1/（1－u）］du
＋（1/4）∫［1/（1＋u）］du
＝（1/4）［1/（1－sinα）］－（1/4）［1/（1＋sinα）］
－（1/4）∫［1/（1－u）］d（1－u）＋（1/4）∫［1/（1＋u）］d（1＋u）
＝（1/4）｛1/［1－x/√（1＋x^2）］｝－（1/4）｛1/［1＋x/√（1＋x^2）］｝
－（1/4）ln｜1－u｜＋（1/4）ln｜1＋u｜＋C
＝（1/4）［1＋x/√（1＋x^2）－1＋x/√（1＋x^2）］/［1－x^2/（1＋x^2）］
＋（1/4）ln｜1＋sinα｜－（1/4）ln｜1－sinα｜＋C
＝（1/4）［2x/√（1＋x^2）］/［（1＋x^2－x^2）/（1＋x^2）］
＋（1/4）ln［｜1＋x/√（1＋x^2）｜/｜1－x/√（1＋x^2）｜］＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］｜＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋x^2）＋x］^2/（1＋x^2－x^2）｜＋C
＝（1/2）x√（1＋x^2）＋（1/2）ln｜x＋√（1＋x^2）｜＋C
扩展资料：
基本定义
设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。
记作∫f(x)dx。
积分学（integral calculus)数学分析的分支学科。即研究各种积分(理论、计算和应用）以及它们之间的关系的学科。 积分学也是高等数学的基础学科之一。积分学的研究对象也是函数，其研究方法是另一类极限值的计算，牵涉到曲边形面积和体积的计算，其研究任务是积分的性质、法则和应用。同样由研究的函数是 一元和多元而分为 一元函数积分学和多元函数积分学。
分部积分，当然三角换元也可以
如图，如有错误还望指正
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