Question

两道关于罗尔定理的题

1） 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，用罗尔定理说明f’（x）有几个实根，并说明根所在的范围。
2） 已知x=0是方程 e的x次方=1+x 根，试证明此方程没有其他的根。

最好有详细过程。。感激不尽。。。。。

Answer 1

1.首先f'(x)是个3次多项式，他最多3个实根
其次，f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0
所以分别存在a属于(1,2),b属于(2,3)，c属于(3,4)
使得f'(a)=f'(b)=f'(c)=0
即a b c都是f'(x)=0的根。所以他们就是f‘的所有根。
即f'(x)=0有三个实根，范围如上所指

2.假如存在非零实数a使得e^a=1+a
即1=(e^a-e^0)/(a-0)
由罗尔定理知道存在k属于(0,a)或者(a,0)，使得(e^x)'在x=k点的值=(e^a-e^0)/(a-0)
即e^k=(e^a-e^0)/(a-0)
所以得到1=e^k，k=0。矛盾！

Answer 2

1.f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，知道 x=1 2 3 4是方程的根
x1=1 x2=2 之间运用罗尔定理 可以得到f’（x)的一个根
同样2 3和 3 4之间也有同样的结果
所有有三个根 分别在（1，2）（2，3）（3，4）间
2）另一种证法、
令、f(x)=e^x-x-1
∴f’（x）=e^x-1
∵当x＜0，f’（x）＜0
当x＞0，f’（x）＞0
当x=0，f’（x）=0
∴x=0是f(x)=e^x-x-1的极小值点、
∴此方程没有其他的根

Answer 3

1.因为:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，
所以:f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，
所以在(1,2);(2,3);(3,4)内满足罗尔定理,
所以,在上面区间内,均有ל 存在,f’(ל )=o
又因,f’（x）是三次多项式,最多三实根
所以,在(1,2);(2,3);(3,4)内的各个使f’(ל )=o的点即为所求的实根,所以有三个实根.
2.设:f(x)=1+x-e^x
因为:f’（x）=1-e^x
f’（0）=0
f的二阶导为-e^x<0
所以x=0 是f(x)=1+x-e^x的最大值,而,f(0)=0
所以,x=0 是方程的唯一根.

Answer 4

1.f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，知道 x=1 2 3 4是方程的根
x1=1 x2=2 之间运用罗尔定理 可以得到f’（x)的一个根
同样2 3和 3 4之间也有同样的结果
所有有三个根 分别在（1，2）（2，3）（3，4）间
2.对于f(x)=e^x-x-1=0 假设除了x=0还有x=a一个根
那么有罗尔定理 在（0，a）之间 存在f'(b)=0
即e^b=1 得出b=0很明显不成立
所以方程没有其他根

Answer 5

.首先f'(x)是个3次多项式，他最多3个实根
其次，f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0
所以分别存在a属于(1,2),b属于(2,3)，c属于(3,4)
使得f'(a)=f'(b)=f'(c)=0
即a b c都是f'(x)=0的根。所以他们就是f‘的所有根。
即f'(x)=0有三个实根，范围如上所指

2.假如存在非零实数a使得e^a=1+a
即1=(e^a-e^0)/(a-0)
由罗尔定理知道存在k属于(0,a)或者(a,0)，使得(e^x)'在x=k点的值=(e^a-e^0)/(a-0)
即e^k=(e^a-e^0)/(a-0)
所以得到1=e^k，k=0。矛盾！
回答者： benkyoshi - 大魔法师 九级 11-14 00:19
1.f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，知道 x=1 2 3 4是方程的根
x1=1 x2=2 之间运用罗尔定理 可以得到f’（x)的一个根
同样2 3和 3 4之间也有同样的结果
所有有三个根 分别在（1，2）（2，3）（3，4）间
2.对于f(x)=e^x-x-1=0 假设除了x=0还有x=a一个根
那么有罗尔定理 在（0，a）之间 存在f'(b)=0
即e^b=1 得出b=0很明显不成立
所以方程没有其他根
回答者： wjy419936845 - 助理 二级 11-14 00:22
1.f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，知道 x=1 2 3 4是方程的根
x1=1 x2=2 之间运用罗尔定理 可以得到f’（x)的一个根
同样2 3和 3 4之间也有同样的结果
所有有三个根 分别在（1，2）（2，3）（3，4）间
2）另一种证法、
令、f(x)=e^x-x-1
∴f’（x）=e^x-1
∵当x＜0，f’（x）＜0
当x＞0，f’（x）＞0
当x=0，f’（x）=0
∴x=0是f(x)=e^x-x-1的极小值点、
∴此方程没有其他的根
回答者： 117532 - 举人 五级 11-14 03:36
1.因为:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，
所以:f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，
所以在(1,2);(2,3);(3,4)内满足罗尔定理,
所以,在上面区间内,均有ל 存在,f’(ל )=o
又因,f’（x）是三次多项式,最多三实根
所以,在(1,2);(2,3);(3,4)内的各个使f’(ל )=o的点即为所求的实根,所以有三个实根.
2.设:f(x)=1+x-e^x
因为:f’（x）=1-e^x
f’（0）=0
f的二阶导为-e^x<0
所以x=0 是f(x)=1+x-e^x的最大值,而,f(0)=0