Question

求齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=0 2x1+3x2+x3+x4=0

4x1+5x2+3x3+3x4=0的解空间的正交规范基

Answer 1

首先将齐次线性方程组写成矩阵形式：

(111123114533)(�1�2�3�4)=(000)⎝⎛124135113113⎠⎞⎝⎛x1x2x3x4⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞

接下来使用矩阵的初等变换求解解空间的正交规范基。具体步骤如下：

• 求出系数矩阵的行最简形式。将矩阵作行变换，得到如下行最简矩阵：

(10−23−130113230000)⎝⎛100010−32310−31320⎠⎞

• 根据主元列选出解空间的一组基。由于第一和第二列是主元列，所以我们选取 $x_3=3, x_4=-2$ 作为基向量，得到解空间的一组基：

(−13−2310),(13−1301)⎝⎛−31−3210⎠⎞,⎝⎛31−3101⎠⎞

• 对选出的基向量进行正交化。将选出的基向量正交化，得到正交基：

(−16−26160),(12−1201)⎝⎛−61−62610⎠⎞,⎝⎛21−2101⎠⎞

因此，解空间的正交规范基为 $(-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0,1)$。