Question

设f(x)，g(x)都为可导函数,试证在f(x)的两个零点之间，一定有f(x)+f(x)g(x)的零点

Answer 1

【答案】：可以考虑利用微分中值定理分析,设x₁＜x₂为f(x)的零点，问题是证明在(x₁，x₂)内存在满足
f'(x)+f(x)g'(x)=0的点，如果设F'(x)=f'(x)+f(x)g'(x)，想由此构造F(x)也非易事，将上述表达式两端同乘以非零函数G(x)，从而
G(x)f'(x)+G(x)f(x)g'(x)=0如果[G(x)]'=G(x)·g'(x)，则上述表达式可化为
[G(x)f(x)]'=0，取G(x)=e^g(x)即可
证设F(x)=e^g(x)f(x)，且x₁＜x₂为f(x)的两个零点，从而f(x₁)=f(x₂)=0，F(x₁)=F(x₂)=0,由题设可知F(x)在[x₁，x₂]上连续，在(x₁，x₂)内可导,因此F(x)在[x₁，x₂]上满足罗尔定理，可知至少存在一点ξ∈(x₁，x₂)，使
F'(ξ)=e^g(x)f'(ξ)+e^g(ξ)f'(ξ)f(ξ)=0由于e^g(ξ)≠0，从而有
f'(ξ)+g'(ξ)f(ξ)=0