Question

带有绝对值的不等式解法

Answer 1

带有绝对值的不等式有以下解法：

(一)零点分段法，转化成多个不等式(组)：零点分段法是最基本的方法，也是必须掌握的，相比其它方法更容易理解，分类讨论，过程清晰不容易出错。

例如：解不等式 |2x-1|-|x-3|>5，第一步，求出所有式子的零点；由2x-1=0与x-3=0得到零点：x=0.5与x=3。第二步，将求得的所有零点在数轴上标出来，将数轴分段；找到零点后分成x<0.5 ，0.5≤x≤3 ，x>3这三个区间。

第三步，在每个区间内去掉绝对值符号，转化成三个不等式组：①x<0.5时，1-2x-(3-x)>5，解得x<-7；②0.5≤x≤3时，2x-1-(3-x)>5，无解；③x>3时，2x-1-(x-3)>5，解得x>3。综上答案是x>3或x<-7。

(二) 根据绝对值的概念和性质：解不等式 |2x-1|>2x-1，根据绝对值的概念和性质，可知|a|≥a，当a≥0时|a|=a，当a<0时|a|>a，而且反过来也是成立的。所以2x-1<0，x<1/2。解不等式 |x-1|>2x+7根据绝对值的概念和性质，可知|x|≤a转成-a≤x≤a，|x|≥a转成x≥a或x≤-a(注意是或)。

通常情况下a>0，但是其实a为实数时上面的两个性质仍然是成立的，所以并不需要讨论a的正负，用这两条性质可以直接快速去掉绝对值符号，避免复杂的讨论。x-1>2x+7，x<-8或x-1<-2x-7，x<-2。综合两种情况，解集是x<-2。

解不等式 |x+1|<2x-4，根据绝对值的非负性，可知|a|≥0，所以2x-4>0，即x>2，这个条件下x+1>0，可以直接脱去绝对值符号，x+1<2x-4，解得x>5。大大取大，解集是x>5。

(三) 绝对值几何意义，绝对值最值：参照(到直线上所有点距离和最小的点，绝对值和的最小值)|x-1|+|x-2|<5，根据绝对值的几何意义，可知|x-1|表示x到1的距离，|x-2|表示x到2的距离。根据数轴易知-1<x<4。

(四)两边平方：|x+1|<|x-2|，如果两边都是非负的，可以两边直接平方脱去绝对值，但是x次数可能会变成2次。现阶段了解即可。两边平方得到|x+1|²<|x-2|²，x²+2x+1<x²-4x+4。解得x<1/2。