Question

高数 齐次方程 求通解 求过程

Answer 1

最后一步错了改下，应该是（x-1）的平方，看懵了我！自己化简下！

Answer 2

联立解 x-y+1 = 0, x+y-3 = 0 , 得 （1，2）
作变换 x = X+1, y = Y+2,
原来的准齐次方程化为齐次方程 dY/dX = (X-Y)/(X+Y),
令 Y = XU， 则 U+XdU/dX = (1-U)/(1+U)
XdU/dX = (1-2U-U^2)/(1+U)
(1+U)dU/(1-2U-U^2) = dX/X
d(1-2U-U^2)/(1-2U-U^2) = -2dX/X
ln(1-2U-U^2) = -2lnX+lnC
1-2U-U^2 = C/X^2
X^2-2XY-Y^2 = C
通解是 (x-1)^2 - 2(x-1)(y-2) - (y-2)^2 = C

追问

为什么要联立方程 然后做那个变化啊 我怎么知道要做那个变化呢 怎么想出来的啊 求解释

追答

微分方程 dy/dx = (ax+by+c)/(mx+ny+p) 是准齐次方程，
必须做一种变换化为齐次方程才能解之。
当 a/m ≠ b/n 时，就采用这种方法，
联立解求出 (x0, y0),
然后采用变换 x = X+x0, y = Y+y0
就可将准齐次方程 y' = (ax+by+c)/(mx+ny+p)
化为 Y 对 X 的齐次方程 ， 这是固定解法。
本科高等数学教科书上都有的。