已知梯形ABCD,AD平行于BC DE垂直于CE, CD=AD+BC,求E为AB中点
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设AB=a, AD=b, BC=c.
因为CD=AD+BC, 又因为AD // BC,所以三角形ADC和三角形BCD的高分别为b和c.
因为DE垂直于CE,所以三角形CED和三角形ADC相似,因此CE/CD=DE/b.
又因为AD平行于BC,所以三角形ADE和三角形BCE相似,因此DE/CE=AD/BC=b/c.
结合上述两式得到:CE/CD=b/c.
因为ABCD是梯形,所以CE=(AD+BC)/(a/2)=2(b+c)/a.
将CE代入上式得到:2(b+c)/(a+b+c)=b/c.
移项整理得:b=2c.
因此,AD=3c, BC=c.
又因为E是AB的中点,所以AE=EB=a/2.
设CE=x, 则ED=a/2-x.
因为三角形CED和三角形ADC相似,所以x/3c=(a/2-x)/b.
将b=2c代入上式得到:x=3a/8.
因此,CE=3a/4, ED=a/4,即证毕E是AB的中点。
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