Question

已知数列中，a1=1，a2=4,且an+1=3an+2^（n-1）

Answer 1

解：

a(n+1)=3an+2ⁿ⁻¹=3an+(3-2)·2ⁿ⁻¹=3an+3·2ⁿ⁻¹-2ⁿ

a(n+1)+2ⁿ=3(an+2ⁿ⁻¹)

[a(n+1)+2ⁿ]/(an+2ⁿ⁻¹)=3，为定值

a₁+2⁰=1+1=2

a₂+2=4+2=6

(a₂+2)/(a₁+2⁰)=6/2=3

数列{an+2ⁿ⁻¹}是以2为首项，3为公比的等比数列

an+2ⁿ⁻¹=2·3ⁿ⁻¹

an=2·3ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻¹

n=1时，a₁=2·1-1=1；n=2时，a₂=2·3-2=4，均满足表达式

数列{an}的通项公式为an=2·3ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻¹

Answer 2

an+1=3an+2^（n-1）
设an+1+c₁2ⁿ=3（an+c₁2^（n-1））
则3c₁-2c₁=1，c₁=1
故an+1+2^n=3（an+2^（n-1））=3²（an-1+2^（n-2））=3∧（n-1）*（a2+2^1））=2*3^n
a2=2*3-2
a1=2*1-1
∴an=2*3^（n-1）-2^（n-1）