Question

函数n阶可导,且在x0点前n-1阶导数等于零第n阶导数不为0,当n为奇数时x0为拐点用泰勒公式证明

Answer 1

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+……＋fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o(x-x0)^n。

=fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o（（x-x0)^n）。

n为偶数，则（x-x0)^n>=0.fn(x0)>0则x0附近f(x)>=f(x0),为极小值；fn(x0)<0显然f(x)<=f(x0),极大。

n为奇数时，显然（x-x0)^n在x0附近变号，由于（x-x0)^n在x0处是拐点，故x0是f(x)拐点。

ps：关于（x-x0)^n在x0处是拐点，等价于x^n在0处是拐点．只需证明x^n在0两边凹凸性不同。

易知x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>^n。

x<0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2<^n.事实上，令这时x1=-x3,x2=-x4,即转化为x>0的情况。

以下给出x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>^n的证明：

取对数，等价于证明f(x1)=ln(x1^n+x2^n)-ln2-nln+nln2。

f'=nx2/。

明显f在（0,x2)递减，在（x2,+∞）递增．故f(x)>f(x2)=0 (x≠x2)。

学数学的小窍门

1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。

2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。

5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。

6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

Answer 2

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+……+fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o(x-x0)^n
=fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o（(x-x0)^n）
n为偶数,则(x-x0)^n>=0.fn(x0)>0 则x0附近f(x)>=f(x0),为极小值；fn(x0)<0显然f(x)<=f(x0),极大.
n为奇数时,显然(x-x0)^n在x0附近变号,由于(x-x0)^n在x0处是拐点,故x0是f(x)拐点.
ps：关于(x-x0)^n在x0处是拐点,等价于x^n在0处是拐点.只需证明x^n在0两边凹凸性不同.
易知x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n；
x<0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2<[(x1+x2)/2]^n.事实上,令这时x1=-x3,x2=-x4,即转化为x>0的情况.
以下给出x>0时任意x1≠x2,(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n的证明：
取对数,等价于证明f(x1)=ln(x1^n+x2^n)-ln2-nln[x1+x2]+nln2
f'=nx2[x1^(n-1)-x2^(n-1)]/[x1^n+x2^n]
明显f在(0,x2)递减,在(x2,+∞)递增.故f(x)>f(x2)=0 (x≠x2)

Answer 3

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Answer 4

提示一点，要分清函数在区间上的凸性和函数在某个点的凸性的区别。类比函数在区间上的增减性和在某点的增减性一样。