Question

设f(x)=1/2x^2-klnx (k>0) (1)求f(x)的单调区间和极值

（2）证明f(x)有零点，则f（x）在区间(1,√e）仅有一个零点

Answer 1

（1）f（x）的导数是x－k/x，令x－k/x等于0，由于x＞0，k＞0，所以x=根号k
所以极值是1/2k-/1/2klnk
令x－k/x＜0，得0＜x＜根号k，则f（x）的递减区间为（0，根号k），同理得递增区间为（根号k，﹢∞）
（2）由（1）可知，当k=e的时候极值为0，所以若f（x）有零点，则k≥e
可知f（1）=1/2，f（根号e）=1/2e－1/2k，由k≥e得f（根号e）＜0
而f（x）的递减区间为（0，根号k），(1,√e）是它的子集

所以f（x）在区间(1,√e）仅有一个零点

Answer 2

(1)f(x)=½x²-klnx 定义域x>0
f'(x)=x-k/x
∵k>0
∴驻点x=√k
f''(x)=1+k/x²>0
∴驻点是极小值点，极小值=k/2-½klnk
单调递减区间x∈(0,√k),单调递增区间x∈(√k,+∞)
(2)f(x)有零点,则极小值=k/2-½klnk≤0
令g(k)=k/2-½klnk
g'(k)=-0.5lnk
极大值点k=1
k∈(1,+∞) g(k)单调递减
g(e)=e/2-e/2=0
∴k≥e→√k>√e
由(1)区间(1,√e)位于单调递减区间
∵f(√e)=½e-½k≤0
∴由连续函数零点定理，f(x)在区间(1,√e)有仅有一个零点