Question

已知函数.若的定义域和值域均是，求实数的值;若在区间上是减

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]∴a=f（1）∴a=2（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数∴a≥2∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增∵f（1）≥f（a+1）∴[f（x）]max=f（1），[f（x）]min=f（a）∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max-[f（x）]min∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即可∴f（1）-f（a）≤4∴a2-2a+1≤4∴-1≤a≤3∵a≥2∴2≤a≤3（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解∴2a=x2+5x＝x+5x在x∈[1，3]上有实数解令g（x）=x+5x则g（x）在[1，5]单调递减，在（5，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=143∴25≤g（x）≤6∴25≤2a≤6∴5≤a≤3