Question

定积分上限=下限积分为什么=0

Answer 1

根据积分中值定理：
设F（x）'=f(x)
∫（a，b）f（x）dx=F（b）-F（a）
根据题意：a=b
既然函数f（x）可积，那么得到的F（x）为一个函数。函数的特点是：一对一
所以一个自变量对应一个函数值。
所以当a=b，F（b）-F（a）=0
定积分上限=下限，积分结果为0

Answer 2

对f（x）求导：f'（x）=sinxe^sinx-sinxe^sinx=0
说明函数为一个常函数
所以f（x）=f（-π）=∫（-π，π）sinte^sintdt
=-∫（-π，π）e^sintdcost
=-cosxe^sinx+∫（-π，π）(cost)^2e^sintdt
=∫（-π，π）(cost)^2e^sintdt
因为(cost)^2e^sint是非负函数，根据积分中值定理：
存在一个ξ使得∫（-π，π）(cost)^2e^sintdt=2π(cosξ)^2e^sinξ＞0
所以∫（-π，π）(cost)^2e^sintdt＞0
所以f（x）＞0
所以函数f（x）为恒正常数