Question

数项级数求和

数项级数求和给出详细计算过程，尽快

Answer 1

解：分享一种解法。设S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^(2n)/[(2n)(2n-1)]，n=1，2，……。显然，所要求级数之和=2S(1)。
由S(x)两边对x求导、且在|x|<1时，有S”(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^(2n-2)=1/(1+x^2)。
再两边从0到x积分、并利用x=0时S(x)和S'(x)的值为0，S(x)=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)。
而，当x=1时，S(x)是交错级数，由莱布民兹判别法可知其收敛，故，原式=2S(1)=π/2-ln2。
供参考。