Question

菱形ABCD中,AC,BD相交于O,∠BAD=2∠DAC,点E是边CD上一点,点F是对角线AC上一点，且满足CE=EF，连接DF，点G

点G为DF的中点，连接EG，EB，求证BE=2GE

Answer 1

图

追答

延长EG，交AD于M。
延长EF交BD于N
由<DCA=<BCA=30度得
<DCB=<DAB=60度
<ADC=<ABC=120度
∴△ACB，△BCD是等边三角形，BD=CD=BC
∵CE=EF
∴<DCA=<EFC=<DAC=30度
∴<DEN=<CDB=<EDN=60度
∴EF∥AD，
△DEN是等边三角形，那么EN=DE=DN，<DNE=60度
∴<BNE=<MDE=<ADC=120度
BD-DN=CD-DE
即CE=BN=EF
∵EF∥AD，那么<DMG=<FEG，<MDG=<EFG
G是DF中点，那么DG=FG
∴△DGM≌△FGE(AAS)
∴DM=EF=BN
EG=MG，即EM=2EG
∵EN=DE
<BNE=<MDE=120度
DM=BN
∴△DEM≌△NEB(SAS)
∴BE=EM=2EG