Question

因式分解技巧和十字相乘法公式是什么？

Answer 1

二次三项式，十字相乘，因式分解，
窍门就是，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
中间的一次项 mx = (a+b)x ，
首先一分为二，拆开变成 ax + bx ，
接下来把四个项，分两组提公因式，做起来就轻松多了；
Q 关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

Q 如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
常数项都是 +25，一次项就都是分开 10=5+5，
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

类似的常数项为正数
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项都是 +24，一次项就都是分开 10=4+6，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

Q 如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
常数项都是 -24，一次项就都是分开 10=12-2，
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，
一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
都是这样有 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，
你自己也试一试吧。

只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 4X9=36，5X9=45，
那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )