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求最小值 已知X²+Y²=1 ,X,Y是正数, 求1/X+8/Y
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x²+y²=1,x>0,y>0,图像为以点O(0,0)为圆心,半径1的圆弧,在第一象限部分(不包括坐标轴)。
可知x=cosθ,y=sinθ,
f(x,y)=1/x+8/y≥2×√(8/xy)=8/sin(2θ),
所以sin(2θ)有最大值时,f(x,y)有最小值,
所以sin(2θ)=1,θ=π/4,x=y=√2/2,
f(x,y)≥1/(√2/2)+8/(√2/2)=9√2,
可知x=cosθ,y=sinθ,
f(x,y)=1/x+8/y≥2×√(8/xy)=8/sin(2θ),
所以sin(2θ)有最大值时,f(x,y)有最小值,
所以sin(2θ)=1,θ=π/4,x=y=√2/2,
f(x,y)≥1/(√2/2)+8/(√2/2)=9√2,
推荐于2018-07-24
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过圆C?:x2+y2-x-y-2=0与圆C?:x2+y2+4x-4y-8=0的交点和点(3,1)的圆的方程解:设所求园的方程为(x2+y2+4x-4y-8)+λ(x2+y2-x-y-2)=0 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(4-λ)x-(4+λ)y-8-2λ=0...........(1) 将点(3,1)的坐标代入得: 9(1+λ)+(1+λ)+3(4-λ)-(4+λ)-8-2λ=4λ+10=0 故λ=-5/2; 代入(1)式得-(3/2)x2-(3/2)y2+(13/2)x-(3/2)y-3=0 用-2/3乘方程两边得: x2+y2-(13/3)x+y+2=0就是所求园的方程。
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原式的平方=(1/x+8/y)(1/x+8/y)(X²+Y²)≥(1+4)^3;所以原式≥5√5;赫尔德不等式。
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